基本题型

　　基本题型为：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素;则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份，求共有多少种不同方法?

　　其解题思路为：将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了(n-1)个空档，现在我们用(m-1)个“档板”插入(n-1)个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是1个、2个、3个、4个、….)，这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

　　例题：共有10完全相同的球分到7个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法?

　　解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是1个、2个、3个、4个)，这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。

　　基本题型的变形

　　(1)变形1：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法?

　　解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将(n+m)个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。

　　例题：有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有()种不同方法。

　　解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C(10，2)=45(种)分法了。

　　(2)变形2：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S(s>1，且每组的s值可以不同)，问有多少种不同的分法?

　　解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面提到的变形1的问题了，也就可以用插板法来解决。

　　例题：15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法?

　　解析：编号1：至少1个，符合要求;

　　编号2：至少2个：需预先添加1个球，则总数-1;

　　编号3：至少3个，需预先添加2个，才能满足条件，后面添加一个，则总数-2;

　　则球总数15-1-2=12个放进3个盒子里，所以C(11，2)=55(种)。

　　通过上面的例题，我们可以看到在排列组合题其实是有方法及步骤可循的，只要大家能够牢记做题步骤即可快速作出答案。望大家能够熟练掌握，在考场做到快速解题。